Numerical Integration (Trapezium Rule)
Curve αα ်αု $y=f(x)$ α‘ောα်αှိ $a$ αှα့် $b$ αြားαိုα်းα‘αွα်း area αို $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) d x$ αိုαဲ့ integration αα်းαα်းαြα့် αှာαွေαိုα်αြောα်း αို αီ post αှာ αော်αြαဲ့αြီး αြα ်αါαα်။
αို့αော် integration method αို αုံး၍ area αှာαွေαα် ααွα်αူαော function αျားα ွာαှိαါαα်။ αီαိုα‘αြေα‘αေαှာαော့ exact area αို αှာαွေαα် ααွα်αူαော့αဲ Numerical method αို αုံးαြီး estimated area αိုαာ αှာαွေαိုα်αှာ αြα ်αါαα်။ α‘αိုαါ Estimated area αိုαှာαွေαα့်αα်းαို Trapezium Rule αို့ αေါ်αါαα်။
Trapezium Rule αို αုံးαα် α‘ောα်αါ α‘αျα်αျားαို αုα်αောα်ααှာ αြα ်αါαα်။
- αေးαားαော curve α‘ောα်αှိ area αှာαိုαော αြားαိုα်းα‘αွα်း α‘αျα်αူαီαော αောα်αိုα် α‘α ိα်α‘αိုα်းαျား αိုα်းαြα်ααါαα်။
- Trapezium αα ်αုαြα်းα ီ၏ area αျားα‘ားαုံးαေါα်းαြα်း αြα့် αိုα‘α်αော α§αိαာ၏ αα့်αှα်းαα်αိုးαို ααှိαှာ αြα ်αါαα်။
- Trapezium ၏ area αို ( $\dfrac{1}{2}$ × αြိုα်αောα‘αားαှα ်αုαေါα်းαα် × α‘αျα်) αြα့်αှာαိုα်αါαα်။
α‘ောα်αါαုံαို αα်αα်αေ့αာαြα့်αါ။ Curve $y=f(x)$ α‘ောα်αှိ $a$ αှα့် $b$ αြားαိုα်းα‘αွα်း area αို αှာαα်α‘αွα် α‘αျα်αူαီαော αောα်αိုα် α‘αိုα်း $6$ αိုα်းαိုα်းαားαါαα်။ αα့်αှα်း α§αိαာ = αောα်αိုα် α‘αိုα်း $6$ αိုα်း α§αိαာαျား αေါα်းαα်αု α‘αွα်ααူ αိαိုα်αါαα်။
αြားαိုα်း $a$ αှα့် $b$ αြား α‘αိုα်း $6$ αိုα်း, αိုα်းαားααှာ αα ်αိုα်းα ီ၏ α‘αျα်αို $h$ αုαα်αှα်αါαα်။ αါ့αြောα့် $h$ αဲ့ α‘αျားα $a$ αှα့် $b$ αြား α‘αွာα‘αေးαို $6$ αှα့်α ားαြα်းαြα့် ααှိαိုα်αှာ αြα ်αါαα်။ $$ h = \dfrac{b-a}{6}$$ Trapezium αα ်αုαျα်းα ီ၏ α§αိαာαို α‘ောα်αါα‘αိုα်း αှာαူαိုα်αါαα်။
| ααα Trapezium ၏ α§αိαာ | $\dfrac{h}{2}\left(y_0+y_1\right)$ |
| αုαိα Trapezium ၏ α§αိαာ | $\dfrac{h}{2}\left(y_1+y_2\right)$ |
| ααိα Trapezium ၏ α§αိαာ | $\dfrac{h}{2}\left(y_2+y_3\right)$ |
| α αုα္α Trapezium ၏ α§αိαာ | $\dfrac{h}{2}\left(y_3+y_4\right)$ |
| αα္α α Trapezium ၏ α§αိαာ | $\dfrac{h}{2}\left(y_4+y_5\right)$ |
| αα္αα Trapezium ၏ α§αိαာ | $\dfrac{h}{2}\left(y_5+y_6\right)$ |
αို့αြောα့် αော်αြαါ αုံ၏ αα်αှα်αားαော αြားαိုα်းα‘αွα်းαှိ α§αိαာαို α‘ောα်αါα‘αိုα်း αှာαူαိုα်αါαα်။
|
$\begin{aligned}
\text{Estimated Area } &= \dfrac{h}{2}\left(y_0+y_1+y_1+y_2+y_2+y_3+y_3+y_4+y_4+y_5+y_5+y_6\right)\\\\
&= \dfrac{h}{2}\left[\left(y_0+y_6+ 2(y_1+y_2+y_3+y_4+y_5\right)\right]\\\\
\text{where } h = \dfrac{b-a}{6}&
\end{aligned}$ |
|---|
α‘αα်၍ αα်αှα်αြားαိုα်း $a$ αှα့် $b$ α‘αွα်း αောα်αိုα် α‘α ိα်α‘αိုα်း $n$ αု αိုα်းαြα်αားαα် αိုαါα ို့။ αိုα‘αါ α‘αိုα်း αα ်αု၏ α‘αျα်αှာ $$h = \dfrac{b-a}{n}$$ αြα ်αα်။ αိုα‘αါ αα့်αှα်း α§αိαာ၏ αα်းαိုးαှာ
| $$A \approx \dfrac{h}{2}\left[\left(y_0+y_n+ 2(y_1+y_2+y_3+\ldots+y_{n-1}+y_n\right)\right]\\\\$$ |
|---|
αိုαော αုံαေαα်း αြα့်αှာαူαိုα်αα်။
| Numerical Integration (Trapezium Rule) |
|
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \dfrac{h}{2}\left[y_{0}+y_{n}+2\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}+\ldots+y_{n-1}\right)\right]$ where $h=\dfrac{b-a}{n}. $ α‘αွα်αှα်αα် $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx \approx$ half width of strip $\times$ (first $+$ last $+$ twice the sum of all the others). α‘αα်၍ Trapezium αျားαα် Curve ၏ α‘αေါ်αို့ αျော်αေαါα estimated area αα် α‘αှα်αှိαော αα်αိုးαα် αြီးαေαြီး ၎α်းα‘αြေα‘αေαို over estimate αုαေါ်αα်။ Fig (1) αို αြα့်αါ။ 
α‘αα်၍ Trapezium αျားαα် Curve ၏ α‘ောα်αွα်αာ αှိαါα estimated area αα် α‘αှα်αှိαော αα်αိုးα‘ောα် αα်αေαြီး ၎α်းα‘αြေα‘αေαို under estimate αုαေါ်αα်။ Fig (2) αို αြα့်αါ။ 
|
αα်αα်၍ trapezium rule αို α‘αုံးαြုαα့် numerical integration αိုα်αာ αုα ္αာαျားαို αα်αြαါαα်။
| Example (1) |
|
|
| Example (2) |
|
Use the trapezium rule with three intervals to find an approximation to $\displaystyle\int_{1}^{4} \frac{6}{1+\sqrt{x}}dx$. Give your answer correct to $5$ significant figures. SolutionLet $y=\dfrac{6}{1+\sqrt{x}}$ For $\displaystyle\int_{1}^{4} y d x$, $\begin{aligned} &\\ a &=1, b=4, n=3 \text { (given) } \\\\ \therefore \quad h &=\frac{b-a}{n} \\\\ &=\frac{4-1}{3} \\\\ &=1\\\\ \end{aligned}$ $\begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 3 & 2.4853 & 2.1962 & 2 \\ \hline \end{array}$ $\begin{aligned} & \displaystyle\int_{1}^{4} \frac{6}{1+\sqrt{x}} d x \\\\ \approx&\ \frac{1}{2}[(3+2)+2(2.4853+2.1962)] \\\\ =&\ 7.1815 \end{aligned}$ |
| Example (3) |
The diagram shows part of the curve $y=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{2 x}$. Use the trapezium rule with 4 intervals to
estimate the area of the shaded region, giving your answer correct to 2 decimal places.
State, with a reason, whether the trapezium rule gives an under-estimate or an over-estimate of the true value
of the shaded area. |
Post a Comment