αုံαα္αာα် αှα်αော geometry αုα်αုံ αα ်αုαဲ့ α§αိαာαို α‘αα်αα်း α‘αα့်αှာααα်း αှာαα်αဲ့ αှာαါ။ α₯ααာ ...
| Shape | Diagram | Area Formula |
| Circle | $ \displaystyle A=\pi r^2$ | |
| Triangle | $ \displaystyle A=\frac{1}{2}bh$ | |
| Rectangle | $ \displaystyle A=lw$ | |
| Polygon | $ \displaystyle A=A_1+A_2+A_3+A_4$ |
αို့αော် αုံαα္αာာα် ααိαျαော αျα်းαွေးαα ်αု ၏ α‘ောα်αှိ α‘α ိα်α‘αိုα်း αα ်αု၏ α§αိαာαိုαော့ α‘αα်αါ α‘αိုα်းαုံαေαα်း αုα်၍ αှာαα် ααွα်αူαော့αါ။ α‘ောα်αါαုံαို αြα့်αါ။
α‘αα်αါ αုံαို αြα့်αျှα် $ \displaystyle x=0$ αှ $ \displaystyle x=1$ α‘αွα်း $ \displaystyle y=x^2$ αိုαော αျα်းαွေးα‘ောα်αှိ α§αိαာ ( $ \displaystyle S$) αို αိαျα ွာαှာαα်α‘αွα် αα်αှα်αားαော αုံαေαα်းαို α‘αွα်ααူ αααိုα်αော့αေ။ αိုα§αိαာαို αှာαα် αα်αα်းαို α‘ောα်αါ α‘αိုα်း α α်းα ားαြα့်αα်။
αုံ αွα်αြα်αွေ့ααα့် α‘αိုα်း αိုαျα်αော α§αိαာαို $ \displaystyle S_1, S_2, S_3, S_4$ αူ၍ α‘αိုα်းαေးαိုα်း αိုα်း၍αှာαြီးαှ αြα်αေါα်းαျှα် ααိုα်αါαα်။ αို့αော်αα်း αိုαα ်αိုα်းα ီαို αα်αဲ့αို့ αှာαα်αα်း။ αိαျαော αုံαေαα်း ααှိαေး။ αို့αြောα့် αုံαေαα်း ααα်α‘ောα်αါ α‘αိုα်း αြုαြα်αြီး α α်းα ားαြα့်αα်။
α‘αိုα်း αα ်αိုα်းα ီ၏ αα်αာαα်α‘α ွα်းαှ αောα့်αှα်α αုαံαျား αα်αောα်αြီး ၎α်း αောα့်αှα်α αုαံ αα ်αုα ီ၏ α§αိαာαျားαို αှာ၍ αြα်αေါα်းαျှα် αိုαျα်αော α§αိαာαို α‘αီးα α်αုံး ααိုα်αα်αြα ်αα်။
| αောα့်αှα်α αုαံ၏ α§αိαာ | α‘αြေ × α‘αြα့် |
| ααααောα့်αှα်α αုαံ၏ α§αိαာ | $ \displaystyle S_1=\frac{1}{4}\times f\left( {\frac{1}{4}} \right)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{{16}}=\frac{1}{{64}}$ |
| αုαိααောα့်αှα်α αုαံ၏ α§αိαာ | $ \displaystyle S_2=\frac{1}{4}\times f\left( {\frac{1}{2}} \right)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{{16}}=\frac{4}{{64}}$ |
| ααိααောα့်αှα်α αုαံ၏ α§αိαာ | $ \displaystyle S_3=\frac{1}{4}\times f\left( {\frac{3}{4}} \right)=\frac{1}{4}\times \frac{9}{{16}}=\frac{9}{{64}}$ |
| α αုα္ααောα့်αှα်α αုαံ၏ α§αိαာ | $ \displaystyle S_4=\frac{1}{4}\times f\left( 1 \right)=\frac{1}{4}\times 1=\frac{1}{4}=\frac{{16}}{{64}}$ |
αို့αြောα့် αောα့်αှα်α αုαံ α‘ားαုံး၏ α§αိαာ = $ \displaystyle \frac{{30}}{{64}}=0.46875$ αြα ်αα်။ αို့αာαွα် αိုαျα်αော α§αိαာαα် αောα့်αှα်α αုαံ α‘ားαုံး၏ α§αိαာ α‘ောα်αα်αေαα် αို αုံαွα်α‘αα်α‘αှား αွေ့αိုα်αေαα်။ αို့αြောα့် αောα်αα် αα ်αα်း α α်းα ားαြα့်αα်။
ααုαα ်αါ α‘αိုα်း αα ်αိုα်းα ီ၏ αα်αဲαα်α‘α ွα်းαှ αောα့်αှα်α αုαံαျား αα်αောα်αြီး ၎α်း αောα့်αှα်α αုαံ αα ်αုα ီ၏ α§αိαာαျားαို αှာ၍ αြα်αေါα်း αြα့်αα်။
| αောα့်αှα်α αုαံ၏ α§αိαာ | α‘αြေ × α‘αြα့် |
| ααααောα့်αှα်α αုαံ၏ α§αိαာ | $ \displaystyle \frac{1}{4}\times f\left( 0 \right)=\frac{1}{4}\times 0=0$ |
| αုαိααောα့်αှα်α αုαံ၏ α§αိαာ | $ \displaystyle \frac{1}{4}\times f\left( {\frac{1}{4}} \right)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{{16}}=\frac{1}{{64}}$ |
| ααိααောα့်αှα်α αုαံ၏ α§αိαာ | $ \displaystyle \frac{1}{4}\times f\left( {\frac{1}{2}} \right)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{{16}}=\frac{4}{{64}}$ |
| α αုα္ααောα့်αှα်α αုαံ၏ α§αိαာ | $ \displaystyle \frac{1}{4}\times f\left( {\frac{3}{4}} \right)=\frac{1}{4}\times \frac{9}{{16}}=\frac{9}{{64}}$ |
αို့αြောα့် αောα့်αှα်α αုαံ α‘ားαုံး၏ α§αိαာ = $ \displaystyle \frac{{14}}{{64}}=0.21875$ αြα ်αα်။ αို့αာαွα် αိုαျα်αော α§αိαာαα် αောα့်αှα်α αုαံ α‘ားαုံး၏ α§αိαာ αα်αြီးαေαα် αို αုံαွα်α‘αα်α‘αှား αွေ့αိုα် αြα်αါαα်။
αို့αြောα့် αိုαျα်αော α§αိαာ $ \displaystyle S$ αα်...
$ \displaystyle 0.21875 < S < 0.46875$ αြα ်αေαα်။ αိαျαော α‘αြေαို αααေးαါ။
αိုαိုαိαျαော α‘αြေααိုα်αα် α‘αα်αါαα်းα‘αိုα်း αောα့်αှα်α αုαံ α‘αေα‘αွα်αို αိုး၍ α ိα်αိုα်းαိုα် αα့်α‘αါ ...
$ \displaystyle 0.2734375 < S < 0.3984375$ αြα ်αာαြα်αါαα်။ αုံαိုαြα့်αြα်းα‘ား αြα့် $ \displaystyle S$ ၏ αα်αိုးαα် α‘αြေαှα်αှα့် αိုαို αီးα α်αာαα်αို αွေ့ααေαα်။ α€ α₯ααာαျားαို αြα့်αျှα် α ိα်αိုα်းαိုα်αα့် αောα့်αှα်α αုαံ α‘αေα‘αွα် αို၍αျားαာαေαေ α‘αြေαှα်αှα့် αို၍ αီးα α်αာαα်αို αွေ့ααေαα်။
| $ \displaystyle n$ | $ \displaystyle L_n$ | $ \displaystyle R_n$ |
| 10 | 0.2850000 | 0.3850000 |
| 20 | 0.3087500 | 0.3587500 |
| 30 | 0.3168519 | 0.3501852 |
| 50 | 0.3234000 | 0.3434000 |
| 100 | 0.3283500 | 0.3383500 |
| 1000 | 0.3328335 | 0.3338335 |
α‘αα်αါ αောα့်αှα်α αုαံαျား၏ α§αိαာαျားαေါα်းαα်αို Riemann sum αုαေါ်αα်။
α‘ောα်αါ geogebra applet αြα့်αေ့αာαြα့်αါ။
applet αွα် αွေ့αှိαျα်α‘α left sum, right sum αို့αα် midpoint sum αα် α‘αြေαှα်αှα့် αိုαို αီးα α်αα်αို αွေ့αှိααေαα်။ αို့αာαွα် α ိα်αိုα်းαα့် α‘αေα‘αွα် α‘αα္α (∞) αို့ αျα်းαα်αွား αα့်α‘αါ left sum αှα့် right sum αို့αα့်αွားαြားαှု ααှိαော့αေ။
$ \displaystyle x = a$ αှα့် $ \displaystyle x=b$ αြာား αေးαားαော curve ၏ α‘ောα်αှိ αိုαျα်αော α§αိαာαို αောα့်αှα်α αုαံαေါα်း $ \displaystyle n$ αု α ိα်αိုα်းαိုα်αြီး αα ်αုα ီ၏ α‘αြေα‘αျားαα် $ \displaystyle \Delta x$ αှိαα်αိုαါα ို့။
αိုα‘αါ $ \displaystyle \Delta x=\frac{{b-a}}{n}$ αြα ်αα်။
αောα့်αှα်α αုαံ αα ်αုα ီ၏ α§αိαာαို α‘ောα်αါα‘αိုα်း αှာαူαိုα်αါαα်။
| ααα αောα့်αှα်α αုαံ၏ α§αိαာ | $ \displaystyle f({{x}_{1}})\Delta x$ |
| αုαိα αောα့်αှα်α αုαံ၏ α§αိαာ | $ \displaystyle f({{x}_{2}})\Delta x$ |
| ααိα αောα့်αှα်α αုαံ၏ α§αိαာ | $ \displaystyle f({{x}_{3}})\Delta x$ |
| . . . | . . . |
| i α‘αြိα်αြောα် αောα့်αှα်α αုαံ၏ α§αိαာ | $ \displaystyle f({{x}_{i}})\Delta x$ |
αို့αြောα့် αောα့်αှα်α αုαံαေါα်း $ \displaystyle n$ αု α ိα်αိုα်းαားαျှα် α ုα ုαေါα်း α§αိαာαα်...
| $ \displaystyle {{S}_{n}}=f({{x}_{1}})\Delta x+f({{x}_{2}})\Delta x+f({{x}_{3}})\Delta x+...+f({{x}_{n}})\Delta x$ |
α‘αα်αွα် αိαြီးαြα ်αα့်α‘αိုα်း αောα့်αှα်α αုαံ α‘αေα‘αွα် αျားαာαေαေ α§αိαာ၏ αα်αိုးαα်αို၍ αိαျαေαေ αြα ်αာ αα်αှα်αားαော interval $ \displaystyle a$ αှα့် $ \displaystyle b$ αြားαွα် αောα့်αှα်α αုαံ α‘αေα‘αွα် $ \displaystyle n$ αα် $ \displaystyle ∞$ αို့αျα်းαα်αွားαα့် α‘αါ αိုαျα်αော α§αိαာαို α‘αိα‘αျ (exact value) αှာαူαိုα်αါαα်။
αို့αြောα့် αိုαျα်αော α§αိαာ $ \displaystyle S$ αို α‘ောα်αါα‘αိုα်း αွα်αူαိုα်αါαα်။
| $ \displaystyle S=\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{f({{x}_{i}})\Delta x}}$ $ \displaystyle \ \ \ =\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left[ {f({{x}_{1}})\Delta x+f({{x}_{2}})\Delta x+f({{x}_{3}})\Delta x+...+f({{x}_{n}})\Delta x} \right]$ |
α‘αα်αါ α§αိαာαα် αေးαားαော curve α‘ောα်αှိ αα်αှα်αားαော interval $ \displaystyle a$ αှα့် $ \displaystyle b$ αြားαွα်αှိαောαြောα့် α§αိαာαှာαα် αုံαေαα်း notation αို α‘ောα်αါα‘αိုα်း αြောα်းαေးαါαα်။
| $ \displaystyle S=\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\sum\limits_{{i=1}}^{n}{{f({{x}_{i}})\Delta x}}=\int_{a}^{b}{{f(x)dx}}$ |
The Definite Integral as the Area of a Region
If $ \displaystyle f$ is continuous and nonnegative on the closed interval $ \displaystyle [a, b]$, then the area of the region bounded by the graph of $ \displaystyle f$, the $ \displaystyle x$-axis, and the vertical lines $ \displaystyle x = a$ and $ \displaystyle x = b$ is $ \displaystyle A$, then
| $ \displaystyle A=\int_{a}^{b}{{f(x)dx}}$ |
α
ာαα်αူ၏ α‘αြα်αို αေးα
ားα
ွာα
ောα့်αျှော်αျα်!
Post a Comment